Matematika SMA Kelas XII Bab Program Linear

Materi Program Linear Kelas XII

Matematika ilmu yang tidak perlu kita buat sulit, karena matematika memang tidak sulit. Sebelumnya telah banyak materi matematika yang telah saya berikan artikelnya seperti invers fungsi, rumus pythagoras,statistika data tunggal dan statistika data kelompok, fungsi eksponen dan logaritma, dan masih banyak lagi yang lainnya. Kali ini topik yang akan kita bahas yaitu tentang program linear.

Program linear yaitu suatu metode untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari bentuk linear pada daerah yang dibatasi grafik -grafik fungsi linear.

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupakan suatu himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang cartesius yang memenuhi semua pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah himpunan penyelesaiannya merupakan irisan himpunan-himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah itu. Untuk  lebih mudah dalam memahami daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh berikut.

Contoh:
Tentukan daerah  penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut!
3x + 5y ≤  15
x ≥  0
y ≥  0

Penyelesaian:
Gambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0
Untuk 3x + 5y ≤  15
Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
3 × 0 + 5× 0 ≤ 15
0 ≤  15 (benar), artinya dipenuhi
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0)
Untuk x ≥ 0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 ≥ 0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1)
Untuk y ≥ 0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 ≥  0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1).

Selanjutnya arsir daerah yang memenuhi persamaan, seperti gambar dibawah ini.

Daerah  penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut ini (daerah yang diarsir).

Pertidaksamaan Linear juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini dapat dilakukan dengan memodelkan masalah menjadi model matematika. Jadi, Model matematikamerupakan suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.

Perhatikan contoh berikut :

Pak Adi merupakan seorang pedagang roti. Beliau menjual roti menggunakan gerobak yang dapat memuat 600 bungkus roti. Roti yang dijualnya yaitu roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing  Rp 5.500,00 untuk roti manis dan Rp 4.500,00 untuk roti tawar per bungkusnya. Dari penjualan roti tersebut, beliau memperoleh keuntungan Rp 500,00 dari sebungkus roti manis dan Rp 600,00 dari sebungkus roti tawar. Apabila modal yang dimiliki oleh Pak Budi adalah Rp 600.000, buatlah model matematika agar beliau dapat memperoleh keuntungan sebesar-besarnya!

Penyelesaian :

Permasalahan Pak Adi diatas  dapat dimodelkan dalam bentuk matematika dengan menggunakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dengan memisalkan banyaknya roti manis sebgai x dan roti tawar sebagai y sehingga diperoleh tabel sebagai berikut.

Berdasarkan tabel diatas jika kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan linear menjadi

x + y ≤ 600,
5.500x + 4.500y ≤ 600.000,
Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0

Dua pertidaksamaan terakhir (baris ketiga) menunjukkan syarat dari nilai x dan y. Dikarena x dan ymerupakan pernyataan yang menyatakan banyaknya roti, maka tidak mungkin nilai x dan y bernilai negatif.

Perhatikan kolom keempat dari tabel di atas yang menyatakan fungsi yang akan ditentukan nilai maksimumnya (nilai optimum). Fungsi tersebut dapat dituliskan dalam persamaan matematika sebagai berikut.

f(x,y) = 500x + 600y

untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan diatas kita dapat mengikuti langkah berikut :

1. Ubah masalah tersebut ke dalam model matematika yaitu dengan membuat tabel, fungsi pembatas dan fungsi tujuan. Tabel di sini untuk mempermudah membaca data. Fungsi pembatas/kendala yaitu beberapa pertidaksamaan linier yang berhubungan dengan permasalahan tersebut. Fungsi tujuan/objektif yaitu suatu fungsi yang berhubungan dengan tujuan yang akan dicapai. Biasanya fungsi tujuan dinyatakan dengan f(x,y) = ax + by atau z = ax + by
2. Lukislah daerah penyelesaian dari fungsi pembatasnya
3. Tentukan koordinat-koordinat titik ujung daerah penyelesaian. Jika belum ada gunakan bantuan eliminasi dari perpotongan 2 garis
4. Ujilah masing-masing titik ujung daerah penyelesaian
5. Tentukan nilai terbesar/terkecilnya sesuai dengan tujuan yang akan dicapai

dimana langkah no 1 telah kita dapatkan karena disini rumus matematika menunjukan bagaimana cara membuat model matematika. Selanjutnya ikuti langkah berikutnya agar kita memperoleh daerah penyelesaiannya.

Read More

Materi Biologi SMA

Hai teman-teman, selamat datang di blog saya disini saya akan membagikan sedikit materi Biologi untuk SMA kelas XII. Semoga Bermanfaat!!!

KISI-KISI BIOLOGI SMA/MA (PROGRAM IPA)

NO	KOMPETENSI	INDIKATOR
1.	Memahami hakikat biologi sebagai ilmu dan mendeskripsikan objek permasalahan biologi melalui metode ilmiah.	Menjelaskan objek dan permasalahan Biologi.
2.	Menjelaskan ciri-ciri makhluk hidup dan klasifikasinya, peranan keanekaragaman hayati bagi kehidupan dan upaya pelestariannya.	Mengidentifikasi ciri-ciri organisme dari kelompok protista/jamur.
		Mengidentifikasi peran virus/Archaebacteria/ Eubacteria bagi kehidupan manusia.
		Menentukan dasar pengelompokan mahluk hidup.
		Menjelaskan tujuan dari upaya pelestarian keanekaragaman hayati tertentu.
		Mengidentifikasi invertebrata berdasarkan ciri- cirinya.
		Mengidentifikasi cara perkembangbiakan invertebrata.
		Mengidentifikasi ciri-ciri kelompok hewan/tumbuhan.
3.	Menganalisis hubungan antara komponen ekosistem, perubahan materi dan energi serta peran manusia dalam keseimbangan ekosistem.	Menganalisis hubungan antar komponen ekosistem.
		Menjelaskan aliran energi atau daur biogeokimia.
		Menjelaskan keterkaitan antara kegiatan manusia dengan masalah perubahan/pencemaran lingkungan .
4.	Menjelaskan struktur dan fungsi sel serta mengaitkannya dengan struktur dan fungsi jaringan.	Menjelaskan struktur sel/komponen kimiawi sel/ proses yang terjadi pada sel.
		Mengidentifikasi struktur dan fungsi organel sel tumbuhan/hewan.
		Mengidentifikasi jaringan tumbuhan/hewan sesuai fungsinya.
5.	Menjelaskan struktur dan fungsi sistem organ manusia serta kelainan/penyakit yang mungkin terjadi pada organ tersebut.	Menjelaskan mekanisme gerak otot dan tulang/ sendi pada manusia.
		Menjelaskan sistem peredaran darah pada manusia/gangguannya.
		Menjelaskan sistem pencernaan makanan pada manusia/gangguannya.
		Menjelaskan sistem pernapasan pada manusia/ gangguannya.
		Menjelaskan sistem ekskresi pada manusia/ gangguannya.
		Menjelaskan sistem regulasi pada manusia.
		Menjelaskan sistem indera pada manusia.
		Menjelaskan sistem reproduksi manusia.
6.	Menjelaskan faktor-faktor yang mempengaruhi proses pertumbuhan dan perkembangan yang terjadi pada tumbuhan melalui hasil percobaan/ pengamatan.	Menginterpretasi hasil percobaan pertumbuhan dan perkembangan tumbuhan.
		Menjelaskan faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan dan perkembangan tumbuhan.
7.	Mendeskripsikan proses metabolisme pada rantai karbohidrat dan kemosintesis.	Menjelaskan ciri-ciri/cara kerja enzim dalam proses metabolisme tubuh.
		Menjelaskan proses metabolisme karbohidrat.
		Menjelaskan tahapan proses fotosintesis pada tumbuhan.
		Menjelaskan proses kemosintesis (respirasi anaerob).
8.	Memahami konsep dasar hereditas, reproduksi sel, penerapan prinsip- prinsip hereditas dan peristiwa mutasi.	Menentukan susunan nukleotida DNA, RNA, atau kromosom.
		Menjabarkan proses sintesis protein.
		Menjelaskan tahap-tahap pembelahan mitosis/meiosis/gametogenesis.
		Menginterpretasikan persilangan dengan hukum Mendel.
		Menginterpretasi persilangan pada penyimpangan semu hukum Mendel.
		Mengidentifikasi pewarisan cacat/penyakit menurun pada manusia.
		Mengidentifikasi peristiwa mutasi.
9.	Menjelaskan teori evolusi dan implikasi pada perkembangan sains.	Menjelaskan teori asal-usul kehidupan dan pembuktiannya.
		Menjelaskan prinsip-prinsip penting pada mekanisme evolusi.
10.	Menjelaskan prinsip-prinsip dan peranan bioteknologi pada saling temas.	Menjelaskan peran bioteknologi.
		Menjelaskan contoh bioteknologi konvensional/modern.
		Menjelaskan dampak bioteknologi bagi masyarakat dan lingkungan.

Read More